Las desigualdades son unas expresiones matemáticas las cuales dan una relación entre dos valores cuando son distintos.
En el sentido de una desigualdad los signos > o < son los que determinan dos sentidos contrarios en las desigualdades, ya sea que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Esto indica que una desigualdad cambia de sentido cuando el mayor se convierte en el menor o contrario.
Los signos de las desigualdades cumplen con un reglamento según las leyes matemáticas, estos son:
- Menor que <.
- Mayor que >.
- Menor o igual que ≤.
- Mayor o igual que ≥.
- No es igual a ≠.
Tipos de desigualdades
Desigualdades estrictas
La notación c < d esto es c menor que d.
- La notación c > d esto es c mayor que d.
Estas desigualdades estrictas, se basan en que c no puede ser igual que d, una tiene que ser mayor y la otra menor.
Desigualdades amplias
- La notación c ≤ d esto es c menor o igual que d.
- La notación c ≥ d esto es c mayor o igual que d.
Estas desigualdades se basan en que ambos miembros pueden tener el mismo valor.
Desigualdades matemáticas
- La notación c ≠ d esto es c no es igual a d.
Estas desigualdades no expresa quien es mayor o menor, ni siquiera si son comparables.
Desigualdad condicional
Solo se utiliza para verificar ciertos valores de las literarias.
- 7x – 9 > 0
Desigualdad absoluta
Se verifica toda clase de valor que se le atribuya a las literales.
- a9 + 6 > a
Las desigualdades tienen una variedad de reglas que cumplirse, estas son:
1. Todo número positivo es mayor que cero.
- 4 > 0 ya que 4 – 0 = 4
2. Todo número negativo es menor que cero.
- -7 < 0 ya que -7 -0 = -7
3. Si hay dos números negativos, el que tiene menor valor absoluto es el mayor.
- -5 > -10 ya que -5 – (-10) = -5 + 10 = 15
4. Cuando una desigualdad contenga una o más variable se denomina inecuación.
- y – 8 > 4
»La punta del signo > indica cual es el menor, esto es 6 > 2, 5 < 10».
Propiedades de las desigualdades
- Una desigualdad no puede variar si se suma o se resta la misma cantidad de ambos lados, esto es:
4 + x > 10
4 + x – 4 > 10 – 4
x > 8
- Una desigualdad no puede variar su sentido si se divide o multiplica por un numero positivo, esto es:
9 ≤ 12 · x /:12
9/12 ≤ x
- Una desigualdad si puede variar su sentido si se divide o múltiplica por un número negativo, esto es:
8 – 4 · x ≥ 10 / -8
-4 · x ≥ 10 – 8 /: -4
x ≤ 6: (-4)
x ≤ -2. Entonces, todos los números reales son menor o igual que -2.
- Cuando hay una desigualdad donde ambos miembros son positivos y ambos se elevan a un exponente positivo, mantiene el mismo sentido pero con otra desigualdad, esto es:
8 > 4 / (8 . 4 )²
8² > 4²
- Cuando hay una desigualdad donde ambos miembros son negativos y ambos se elevan a un exponente positivo, cambia el sentido junto con la desigualdad, esto es:
-8 > -4 / (-8 · -4 )²
-8² < -4²
Propiedad transitiva
- Si 4 > 2 y 2 > 1 esto es 4 > 1.
- Si 7 < 9 y 9< 11 esto es 7 < 11.
- Si 6 > 5 y 5 = (4 + 1) esto es 6 > (4 + 1).
- Si 13 < 15 y 15 = (7 + 8) esto es 13 < (7 + 8).
Propiedades de adición y sustracción
- Si 4 < 8 esto es 4 + 1 < 8 + 1 entonces 5 < 9.
- Si 10 > 2 esto es 10 + 3 > 2 + 3 entonces 13 > 5.
Propiedades del reciproco
- Si -15 < -8 esto es -1/15 > -1/8.
- Si 19 > -3 esto es 1/19 > -1/3.
Propiedades opuestas
- Si 20 < 32 esto es -20 > -32.
- Si 47 > 14 esto es -47 < -14.
En esta propiedad cambia el sentido de la desigualdad.
Propiedades del valor absoluto
- Si |5| ≤ 11 si y solo si -11 ≤ 5 ≤ 11.
- Si |-16| ≥ 7 si y solo si 16 ≥ 7 y 16 ≤ -7 entonces 16 ≥ 7.