En el lenguaje matemático, específicamente en la geometría diferencial y en la geometría elemental, la curva también llamada línea curva, es una línea continua de una dimensión que puede cambiar de dirección de manera paulatina.
La circunferencia, el óvalo, el cicloide o la elipse son ejemplos sencillos de curvas cerradas simples.
Mientras que en la categoría de curvas abiertas se incluye la parábola, la catenaria, la hipérbola y una enorme cantidad de curvas estudiadas en la geometría analítica plana.
Todas las curvas están compuestas por una dimensión topológica igual a 1. La noción curva junto a la de la superficie es uno de los objetos más importantes de la geometría diferencial, es bastante utilizada y aplicada en las herramientas del cálculo diferencial.
La línea curva se pueden clasificar en:
Curva Elemental
Una imagen que contenga un conjunto de puntos en el espacio obtenidos por una aplicación topológica que tiene un segmento abierto de recta es una curva elemental. Sea γ una curva elemental y también sea a < t < b el segmento abierto a través del cual se obtiene la aplicación f de la curva que corresponde al punto t del segmento.
El sistema de igualdades construyen ecuaciones de la curva de manera paramétrica.
Curva Simple
La definición de curva simple suele ser bastante intrigada, es decir de diversos conceptos y tipos. Para evitar auto intersecciones, extremos y puntos singulares, el concepto de curva simple se define como la curva en la que en todo punto p existe un entorno abierto de Ω en el cual se incluye una representación de clase.
Curva Plana
Una curva plana se define como la que se ubica en un solo plano y puede ser cerrada o abierta. También se considera curva plana a la representación gráfica de una función real que tiene una variable real.
Curva Diferenciable
Una curva es considerada diferenciable cuando la función x: [a, b] C I -> Rn es diferenciable. Aparte, si la función anterior es inyectiva en el intervalo (a, b) entonces quiere decir que la curva permite un vector tangente único en cada uno de sus puntos es de carácter rectificable. Esto significa que su longitud de arco se encuentra definida correctamente y se puede calcular su longitud.
Curva Cerrada
La curva es cerrada cuando es una curva simple homeomorfa y tiene una circunferencia. La parte común de la curva δ es conocida como entorno de un punto W de una curva simple δ, en un entorno espacial del punto W. Entonces cada punto de una curva simple tiene un entorno que forma parte de la curva elemental.
Curva Suave
La curva suave se define como aquella curva que no tiene puntos angulosos. Ejemplos de este tipo de curva pueden ser la elipse, la parábola, el círculo, entre otros. Una curva que no es suave puede ser una cicloide.
Curva Suave por partes
Una curva C es suave por partes si también es suave en todo el intervalo que esté ubicado en alguna partición de I, esto quiere decir que el intervalo puede ser dividido en una cantidad finita de subintervalos, en cada uno de ellos C es suave.
Curva No Diferenciable
Cuando la función que le otorga el concepto a la curva es diferenciable, entonces se entiende que la curva es diferenciable. Una curva diferenciable tiene la característica de admitir una recta tangente en todos sus puntos.
Una curva con una cantidad finita de puntos donde no hay diferenciabilidad es una curva diferenciable a tramos. Cuando la cantidad de puntos no es finita, puede suceder que una curva continua no sea rectificable en ninguno de sus puntos.
Esto quiere decir que, la tangente no puede ser definida en ningún punto. En situaciones como éstas, la longitud de la curva no es una cantidad finita y puede suceder que la curva posea una longitud infinita, aún cuando esta se encuentre ocupando una región finita del esp